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\newtheorem{esm}{Esempio}[section]


\begin{document}

\begin{frontespizio}
\Preambolo{\usepackage{tgpagella}}
\Universita{Padova}
\Logo{logo}
\Facolta{Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali}
\Corso[Laurea]{Matematica}
\Titoletto{Tesi di Laurea}
\Titolo{Potenze di Wick e Quantizzazione Stocastica}
\Candidato[600622]{Massimo Secci}
\Relatore{Dott. Paolo Guiotto}
\Annoaccademico{2010--2011}
\end{frontespizio}

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\tableofcontents
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\setcounter{page}{1}

\chapter*{Introduzione}
\addcontentsline{toc}{section}{Introduzione}
Lo scopo di questo lavoro è trovare una soluzione ad un problema che sorge
in \emph{Teoria Quantistica dei Campi} nel risolvere determinate equazioni
differenziali stocastiche. Tale problema riguarda la necessità di utilizzare
le potenze in spazi in cui esse non sono definite e in cui
nemmeno una loro naturale estensione è possibile.

L'obiettivo della prima parte è quello di introdurre alcuni strumenti e
tecniche
che da un lato permetteranno di ovviare ad alcune difficoltà che si
incontrano nel risolvere determinate equazioni differenziali stocastiche,
dall'altro saranno anche la causa stessa del suddetto problema. Per
approfondimenti su tali argomenti si veda \cite{dpz}.

Nel primo capitolo verranno presentati gli oggetti che permettono di
definire e dare un senso alle equazioni differenziali stocastiche
coinvolgenti processi a valori in uno spazio di Hilbert separabile. Il primo
passo sarà definire il processo fondamentale dell'Analisi Stocastica, il
\emph{Moto Browniano}. Tale definizione è leggermente più delicata di quella del Moto Browniano
reale a causa della dimensione infinita dello spazio e ai conseguenti
problemi di convergenza. Dopo aver definito il MB e averne illustrato le
principali proprietà, verrà introdotto l'\emph{Integrale Stocastico} rispetto ad
esso, la cui costruzione segue gli stessi passi di quella nel caso reale. In
seguito, dopo aver mostrato alcune proprietà dell'integrale stocastico, sarà
una di queste (ovvero quella di essere un'isometria tra opportuni spazi) a
rivelare la possibilità di un'estensione della definizione di Moto Browniano
precedentemente fornita. Sebbene tale estensione non fornisca di fatto una
classe di oggetti ben definiti, li si può comunque utilizzare nell'integrazione di
opportuni processi stocastici. Uno di questi oggetti è il \emph{rumore
bianco} che
di fatto è il ``processo'' più utilizzato nelle applicazioni fisiche di
questa teoria.

Nel secondo capitolo verrà fornita una panoramica sulle equazioni
differenziali stocastiche e sugli oggetti che si rivelano essere utili per
risolverle, tra cui la \emph{convoluzione stocastica}. \`E quest'ultimo
che rende necessario utilizzare spazi più grandi dello spazio di
Hilbert originario quando, ad esempio, è coinvolta l'\emph{equazione del
campo libero}, un'equazione differenziale stocastica lineare fondamentale
nella Teoria Quantistica dei Campi. Tali spazi estesi sono degli spazi di
distribuzioni in cui non sono definite le potenze. Questo non sarebbe un
problema se ci si limitasse ad utilizzare l'equazione del campo libero, che,
essendo lineare, non coinvolge le potenze. Il problema si riscontra, però,
studiando l'\emph{equazione del campo interagente}, un'equazione simile a
quella del campo libero, ma con l'aggiunta di un fattore polinomiale che
richiede, quindi, una definizione di potenza per gli elementi che
appartengono agli spazi di distribuzioni necessari.

In seguito a questi due capitoli motivazionali, verrà esposta la
costruzione di una possibile categoria di potenze il cui dominio contenga
gli elementi suddetti. Tale costruzione è alquanto laboriosa: innanzitutto
richiede l'introduzione di uno spazio allargato $\h$ a cui viene aggiunta
una misura di probabilità. In seguito si fornirà lo spazio $L^2(\h)$ di una struttura
ortogonale in modo che opportuni sottospazi tra loro ortogonali
rappresentino i vari gradi delle potenze. A quel punto sarà possibile
definire le potenze sugli elementi troncati dello spazio $\h$ e studiare
successivamente i vari tipi di convergenza, al fine di definire le potenze
come elementi di $L^2(\h)$ a valori in opportuni spazi. Infine verrà
mostrata una proprietà riguardante le potenze di binomi.

\chapter {Moto Browniano e Integrale Stocastico}
\section {Introduzione}
Il Moto Browniano è il processo fondamentale nella costruzione del calcolo stocastico. Mentre la definizione di
Moto Browniano in $\R$ è relativamente semplice, così come la sua generalizzazione in uno spazio di dimenzione
finita, la definizione del Moto Browniano a valori in uno spazio di Hilbert $H$ richiede qualche accorgimento.
In questo capitolo verranno definiti il Moto Browniano Nucleare e quello Cilindrico, estensioni del Moto Browniano in
uno spazio di Hilbert separabile reale $H$. Inoltre, verrà brevemente
introdotto l'Integrale Stocastico rispetto ad essi che
sarà necessario per definire alcune caratteristiche trattate nel capitolo seguente.

\section {Il Moto Browniano Nucleare}
Una naturale estensione del Moto Browniano in uno spazio di Hilbert
separabile potrebbe essere:
\begin{equation*}
	W(t):=\sum_{n \in \N} W_n(t) e_n
\end{equation*}
dove i $W_n$ sono Moti Browniani reali indipendenti e $(e_n)_{ n \in \N }$ è
una base ortonormale di $H$. Tale
definizione, però, ha l'inconveniente di avere momento secondo infinito per ogni $t > 0$. Infatti:
\begin{equation*}
	\|W(t)\|_2 ^ 2 = \E \left[ \left| \sum_{ n \in \N } W_n(t) e_n \right|
    ^2 \right] = \sum_{ n \in \N } \E \left[ W_n(t) ^ 2 \right] = \sum_{ n
    \in \N } t = +\infty,\quad \forall t > 0.
\end{equation*}
Per ovviare a tale problema, la definizione di Moto Browniano a valori in
$H$ è tale da assegnare dei pesi ai vari $W_n$, in un senso che verrà
spiegato, tramite un operatore diagonale di traccia finita.

La definizione di Moto Browniano su uno spazio di Hilbert è
\begin{defn}
    Sia $Q$ un operatore su $H$ simmetrico, definito positivo e con traccia finita, allora
    un processo $W_Q : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \times \left[ 0 , +
    \infty \right[ \rightarrow H$ si dice \emph{$Q$-Moto Browniano Nucleare}
    se:
    \begin{enumerate}[i)]
        \item $W(0) = 0$ $\mathbb{P}$-q.c.,
        \item $W$ ha traiettorie continue $\mathbb{P}$-q.c.,
        \item $W$ ha incrementi indipendenti,
        \item gli incrementi hanno legge $(W(t) - W(s)) \sim \mathcal{N}(0 ,
            (t-s)Q)$.
    \end{enumerate}
\end{defn}

Innanzitutto, si rivelerà utile osservare che $W$ è un processo gaussiano, in
quanto, fissati $N \in \N$, $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_N$, $h_1, \dots , h_N
\in H$,
\begin{equation*}
    \sum_{i=1}^N \left< W(t_i) , h_i \right> = \sum_{k=1}^n \left<
    W(t_k) - W(t_{k-1}), \sum_{j=k}^N h_j \right>
\end{equation*}
è una v.a. gaussiana poich\'e $W$ ha incrementi gaussiani e indipendenti.
Inoltre $W(t)$ ha media nulla e matrice della covarianza $\cov(W(t)) = t Q$. 

Poich\'e $Q$ è simmetrico e definito positivo, esiste una base
ortonormale di $H$ fatta di autovettori di $Q$, ovvero
\begin{equation*}
    Q e_n = \lambda_n e_n, \text{ con } \lambda_n \geq 0 \quad \forall n \in
    \N.
\end{equation*}
Quindi si ha la
\begin{prop}
Il Moto Browniano nucleare $W$ si può esprimere come
    \begin{equation*}
        W(t) = \sum_{n \in \N} \sqrt{\lambda_n} W_n(t) e_n,
    \end{equation*}
    dove i
    \begin{equation*}
        W_n = \frac{1}{\sqrt{\lambda_n}} \left< W(t), e_n \right>
    \end{equation*}
    sono Moti Browniani reali tra loro indipendenti, inoltre tale serie
    converge in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}; H)$.
    \begin{proof}
        Come precedentemente osservato, $W$ è un processo gaussiano, quindi
        anche i 
        \begin{equation*}
            \frac{1}{\sqrt{\lambda_n}} \left< W(t), e_k \right>, \quad n \in
            \N
        \end{equation*}
        lo sono e per dimostrare che sono moti browniani indipendenti è sufficiente
        dimostrare che hanno matrice di covarianza $\cov(W_n(t), W_m
        (s)) = s\delta_{m,n}$ se $t \geq s$. E infatti
        \begin{eqnarray*}
            \E \left[ W_n (t), W_m(s) \right] &=& \frac{1}{\sqrt{\lambda_m
            \lambda_n}} \E \left[ \left< W(t) , e_n \right> \left<
            W(s), e_m \right> \right] \\
            &=& \frac{1}{\sqrt{\lambda_n \lambda_m}} \left\{ \E \left[ \left<
            W(t) - W(s), e_n \right> \left< W(s), e_m \right> \right]
            \right. \\
            && + \left. \E \left[ \left< W(s), e_n \right> \left< W(s, e_m
            \right>)\right] \right\} \\
            &=& \frac{1}{\sqrt{\lambda_n \lambda_m}} s \left< Q e_n, e_m
            \right> = s \delta_{n,m},
        \end{eqnarray*}
        dove il penultimo passaggio è motivato dall'indipendenza degli
        incrementi e dal fatto che la matrice di covarianza di $W(s)$ è
        $sQ$.

        Per mostrare la convergenza, si può mostrare che la successione di
        somme parziali è di Cauchy. Se $ M > N$, allora
        \begin{equation*}
            \E\left[ \left| \sum_{j=N}^{M} \sqrt{\lambda_j} W_j(t) e_j
            \right|^2 \right] = t \sum_{j=N}^M \lambda_j
        \end{equation*}
        converge per $M,N \rightarrow \infty$ poich\'e $\trace(Q) < + \infty$.
    \end{proof}
\end{prop}

In seguito si considereranno gli operatori $Q$ diagonali rispetto alla base
di $H$ usata. Quindi si può considerare un $Q$-Moto Browniano nucleare come
\begin{equation*}
    W_Q(t) = Q^{1/2} W(t) = \sum_{n \in \N} \sqrt{\lambda_n} W_n(t) e_n,
\end{equation*}
con i $W_n$ Moti Browniani indipendenti.
\section {Integrale Stocastico rispetto al MB Nucleare}
L'estensione dell'Integrale Stocastico rispetto ad un $Q$-MB Nucleare è simile alla
costruzione classica nel caso dei processi reali.                                    

\bigskip

Innanzitutto si considera la filtrazione $(\f_t)_{t \geq 0}$ generata dal $Q$-MB Nucleare
in questione e si definisce la classe dei processi semplici:
\begin{equation*}
    \mathcal{E}^2 \left( \left[ a , b \right] \right) = \left\{ X \in
    L^2\left( \left[ a , b \right] \times \Omega; \l\left( H \right) \right)
    : X = \sum_{i=0}^{n-1} X_i \chi_{\left[ t_i , t_{i+1} \right]}, n \in \N, X_i
    \in \f_i \right\}
\end{equation*}
dove $\l(H)$ è l'insieme delle applicazioni lineari di $H$ in s\'e. A questo
punto è possibile definire l'integrale su tali processi
\begin{defn}
    Dato $X \in \mathcal{E} ^ 2 \left( \left[ a , b \right] \right)$, si definisce
    \begin{equation*}
        \int_a^b X \, dW_Q := \sum_{i=0}^{n-1} X_i \left[ W_Q \left( t_{i+1}
        \right) - W_Q \left( t_i \right) \right].
    \end{equation*}
\end{defn}
Si ha
\begin{prop}
    Sia $X \in \mathcal{E} ^ 2 (\left[ a , b \right])$, allora
    \begin{equation*}
        \E \left[ \int_a^b X \, dW_Q \right] = 0
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \E \left[ \left|
        \int_a^b X \, dW_Q \right| ^ 2 \right] = \int_a^b \E \left[ \|
        Q^{1/2} X\left( t \right)\|_{HS}^2 \right]\, dt
    \end{equation*}
    dove $\| A \|_{HS}^2 = \trace \left[ A^t A \right]$, con $A \in \l(H)$.
\end{prop}

Come per il caso reale, quindi, l'Integrale Stocastico rispetto al MB
Nucleare si rivela essere un'isometria dello spazio dei processi semplici
(con la norma $\int_a^b \E \left[ \| Q^{1/2} X\left( t \right)\|_{HS}^2
\right]\, dt)$ in $L^2(\Omega, H)$.

Poich\'e i processi semplici sono densi nello spazio
\begin{equation*}
    \mathcal{P}_Q^2\left( \left[ a,b \right] \right) = \left\{ X \in
    L^2\left( \left[ a , b \right] \times \Omega, \mathcal{P}; \l\left( H
    \right)\right) : \| X \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2 < + \infty
    \right\},
\end{equation*}
dove $\mathcal{P}$ è la $\sigma$-algebra dei processi progressivamente
misurabili e
\begin{equation*}
     \| X \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2 : = \int_a^b \E \left[ \| Q^{1/2} X\left( t
    \right)\|_{HS}^2 \right]dt.
\end{equation*}
Da ciò è immediato il
\begin{thm}
    Siano $W_Q$ un Moto Browniano nucleare e $X \in \mathcal{P}_Q^2 
    \left( \left[ a,b \right] \right)$. Allora è possibile definire 
    l'integrale stocastico $\int_a^b X \, dW_Q$ come estensione della
    suddetta isometria e valgono, quindi, le proprietà
    \begin{equation*}
        \E \left[ \int_a^b X \, dW_Q \right] = 0,
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \E \left[ \left|
        \int_a^b X \, dW_Q \right| ^ 2 \right] = \| X
        \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2. 
    \end{equation*}
\end{thm}

Da questo teorema si intuisce che non è necessario che $Q$ abbia traccia finita
affinch\'e sia possibile definire l'isometria, bens\`i è sufficiente che sia
finita la $\mathcal{P}_Q^2$-norma di $X$ ed è per questo motivo che si
introduce il Moto Browniano cilindrico.

\section{Il Moto Browniano Cilindrico}
Il Moto Browniano cilindrico differisce da quello nucleare solo
nell'operatore $Q$ a cui non è richiesto avere traccia finita, ovvero

\begin{defn}
    Sia $Q$ un operatore lineare e diagonale di $H$ in se. Allora si
    definisce Moto Browniano cilindrico un processo del tipo
    \begin{equation*}
        W_Q (t) : = Q^{1/2} W(t) = \sum_{n \in \N} \sqrt{\lambda_n} W_n(t) e_n,
    \end{equation*}
    dove $Q= \diag(\lambda_n)$.
    Nel caso particolare in cui $Q=I$, il processo prende il nome di
    \emph{rumore bianco} e verrà indicato con $W$.
\end{defn}
\noindent Tale definizione ha significato solo come scrittura formale, in
quanto si è visto che tale oggetto non è ben definito, in compenso può
essere utilizzato per integrare opprtuni processi stocastici.

L'integrale stocastico rispetto ad un Moto Browniano cilindrico si definisce
come limite in $L^2$ di integrali stocastici rispetto a diversi Moti
Browniani nucleari. Dato un operatore $Q= \diag(\lambda_n)$ con traccia non finita, infatti,
si può ricavare una successione di operatori nucleari
\begin{equation*}
    Q_N = \diag(\lambda_1, \dots , \lambda_N, 0, 0, \dots).
\end{equation*}
Dato, quindi, un processo $X \in \mathcal{P}_{Q}^2$ è ben definito l'integrale
stocastico
\begin{equation*}
    \int_a^b X\, dW_{Q_N}, \quad \forall N \in \N
\end{equation*}
in quanto
\begin{align*}
    \int_a^b \E \left[ \|Q_N^{1/2} X(t)\|_{HS}^2 \right] dt &= \int_a^b \E
    \left[ \sum_{n=1}^N \lambda_n |X(t)e_n|^2 \right] dt\\
    &\leq \int_a^b \E \left[ \|Q^{1/2} X(t)\|_{HS}^2 \right] dt < + \infty.
\end{align*}

Ora se $M > N$ e posto
\begin{equation*}
    Q_{N+1}^M = \diag(0,\dots,0, \lambda_{N+1}, \dots ,\lambda_M, 0, \dots),
\end{equation*}
si ha
\begin{align*}
    &\E \left[ \left| \int_a^b X \, dW_{Q_M} - \int_a^b X\, dW_{Q_N} \right|^2
    \right] = \left[ \left| X \, dW_{Q_{N+1}^M} \right|^2 \right] = \\
    &= \int_a^b \E \left[ \left\| (Q_{N+1}^M)^{1/2} X(t) \right\|_{HS}^2
    \right] dt = \int_a^b \E \left[ \sum_{n=N+1}^M \lambda_n |X(t)e_n|^2
    \right] dt \\
    &= \int_a^b \E \left[ \|Q_M^{1/2} X(t)\|_{HS}^2 \right] dt - \int_a^b \E
    \left[ \|Q_N^{1/2} X(t)\|_{HS}^2 \right] dt \xrightarrow{M,N \rightarrow
    \infty} 0
\end{align*}
Quindi si può definire
\begin{equation*}
    \int_a^b X\, dW_{Q} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_a^b X\, dW_{Q_N}
    \text{ in } L^2(\Omega; H).
\end{equation*}

\chapter {SPDE}
\section{Introduzione}
In questo capitolo verrà presentata la classe più semplice di Equazioni
Differenziali Stocastiche in spazi di Hilbert e una spiegazione euristica
del metodo risolutivo.
Infine verrà presentata una particolare equazione di grande interesse in
campo fisico.
Lo scopo di tutto ciò è motivare la necessità della costruzione delle
Potenze di Wick che verrà presentata nel Capitolo 3.

\section{Equazioni Lineari}
La classe di equazioni differenziali stocastiche più semplici è quella delle
equazioni lineari. Esse sono della forma
\begin{equation*}
    \left\{
    \begin{array}{l}
        dX = A X(t)\, dt + dW_Q(t) \\
        W(0)=\varphi
    \end{array}
    \right.
\end{equation*}
dove $A : D(A) \subset H \rightarrow H$ è un operatore lineare e $W_Q$ è un Moto
Browniano nucleare o cilindrico.

Ispirandosi alla variazione delle costanti arbitrarie utilizzata per
risolvere le ODE lineari, la candidata soluzione è, quindi,
\begin{equation} \label{sol}
    X(t) = e^{tA}\varphi + \int_0^t e^{(t-s)A}\, dW_Q(s), \qquad t\in
    [0,T].
\end{equation}
Sotto determinate condizioni e in un senso da definire opportunamente,
\ref{sol} è di fatto soluzione, ma questo esula dallo scopo di questo
lavoro.

\`E invece di interesse indagare l'esistenza del termine $\int_0^t
e^{(t-s)A}\, dW_Q(s)$, chiamato \emph{ convoluzione stocastica }. Per fare
ciò verranno usate le proprietà dell'inegrale stocastico descritte nel
capitolo precedente.

\section{Convoluzione Stocastica}
La proprietà di isometria dell'integrale stocastico rispetto ad un Moto
Browniano (nucleare o cilindrico) consente di determinare l'esistenza o meno della
convoluzione stocastica.

Infatti, per come è stato definito l'integrale stocastico, condizione
necessaria e sufficiente per l'esistenza della convoluzione stocastica è la
finitezza della $\mathcal{P}_Q^2$-norma del processo integrando.

Quindi,
\begin{equation*}
    \int_0^T \E \left[ \| Q^{1/2} e^{(T-s)A} \|_{HS}^2 \right]\,ds =\int_0^T
    \| Q^{1/2} e^{(T-s)A} \|_{HS}^2\,ds < +\infty.
\end{equation*}
Per semplificare tale espressione si può introdurre l'ipotesi (comunque
soddisfatta nel caso specifico utilizzato in seguito) che la base di $H$ sia
composta di autovalori dell'operatore $A$, ovvero $\{e_n\}_{n \in \N}
\subset D(A) \subseteq H$, e che tali autovalori siano
negativi e divergenti, ovvero:
\begin{equation*}
    A e_n = -\sigma_n e_n, \quad \sigma_n > 0, \quad \sigma_n \rightarrow
    +\infty.
\end{equation*}
Sotto queste ipotesi, quindi,
\begin{equation*}
    \| Q^{1/2} e^{(T-s)A} \|_{HS}^2 = \sum_{n \in \N} \left| Q^{1/2}
    e^{(T-s)A} e_n \right|^2 = \sum_{n \in \N} \lambda_n e^{-2(T-s)\sigma_n}
\end{equation*}
e di conseguenza si deve avere
\begin{equation*}
     \int_0^T \| Q^{1/2} e^{(T-s)A} \|_{HS}^2\,ds = \int_0^T \sum_{n \in \N}
     \lambda_n e^{-2(T-s)\sigma_n} \, ds = \sum_{n \in \N} \lambda_n
     \frac{1 - e^{-2T\sigma_n}}{2\sigma_n} < +\infty
\end{equation*}
che è equivalente a
\begin{equation*}
    \sum_{n \in \N} \frac{\lambda_n}{\sigma_n} < + \infty.
\end{equation*}

\begin{esm}
    Si consideri l'operatore Laplaciano in una dimensione sull'intervallo
    limitato $\left[0 , 2\pi\right]$, $D(\Delta) = C^2(\left[ 0, 2\pi
    \right])$. Sia $e_k(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx}$ con $x \in \left[
    0,2\pi \right]$ e $k \in \Z$. Allora
    \begin{equation*}
        \Delta e_k = -k^2 e_k.
    \end{equation*}
    Quindi
    \begin{equation*}
        \trace\left[ Q (-\Delta)^{-1} \right] = \sum_{k \in \Z}
        \frac{\lambda_k}{k^2}
    \end{equation*}
    che converge anche se $\lambda_k \equiv 1$. Ciò significa che se
    l'operatore lineare è il Laplaciano si ha l'esistenza della convoluzione
    stocastica anche nel caso si integri rispetto al rumore bianco.
\end{esm}

\begin{esm}
    Nel caso in cui, invece, l'operatore Laplaciano sia in due dimensioni
    sull'intervallo $\left[ 0 , 2\pi \right]^2$ la situazione cambia.
    Infatti, fissata la base $(e_k(x))_{k \in \Z^2}$, dove
    $e_k(x)= \frac{1}{2\pi} e^{i\left< k , x\right>}$ con $k \in \Z^2$ e $x
    \in \left[ 0 , 2\pi \right]^2$, si ha
    \begin{equation*}
        \Delta e_k = -|k|^2 e_k, \quad \forall k \in \Z^2,
    \end{equation*}
    dove $|k|^2 = k_1^2 + k_2^2$. Quindi,
    \begin{equation*}
        \sum_{k \in \Z^2} = \frac{\lambda_k}{|k|^2}
    \end{equation*}
    non converge se, ad esempio, si sceglie $\lambda_k = 1$. Cioè, nel caso
    del Laplaciano in due dimensioni, la convoluzione stocastica non esiste
    se il Moto Browniano scelto è il rumore bianco.
\end{esm}
Queste conclusioni generali saranno utili nella prossima sezione per
analizzare una particolare equazione lineare, dalla cui versione non lineare
sorge il problema e la necessità di una nuova definizione di potenza in
opportuni spazi, estensioni dello spazio di Hilbert usuale $L^2\left( \left[
0, 2\pi \right]^d \right)$.

\section{L'Equazione del Campo Libero}
L'equazione del campo libero è di particolare interesse in ambito fisico
nella teoria quantistica dei campi. Tale equazione è della forma
\begin{equation*}
        dX\left( t , x \right) = \left( \Delta - I \right) X\left( t , x
        \right) \,dt + dW\left( t , x \right), \quad \left( t ,
        x \right) \in \left[ 0 , + \infty \right] \times \left[ 0 , 2\pi
        \right]^d,
\end{equation*}
con il rumore bianco come Moto Browniano. Usando come base di $H = L^2(
\left[ 0 , 2\pi \right]^d )$ il set 
\begin{equation*}
    \left( e_k = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} e^{i k \cdot x} \right)_{k \in
    \Z^d},
\end{equation*}
si ha
\begin{equation*}
    \left( \Delta - I \right) e_k = -\left( 1 + |k|^2 \right) e_n,
\end{equation*}
dove $|k|^2 = k_1^2 + k_2^2 + \dots + k_d^2$.

\subsection{Il problema della Convoluzione Stocastica}
Per poter parlare di soluzioni all'equazione del campo libero è necessario
verificare l'esistenza della convoluzione stocastica. In questo caso
\begin{equation*}
    \trace(Q\left( -A \right)^{-1}) = \trace((-A)^{-1}) =
    \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \sum_{n \in \N^d}\frac{1}{1 + |n|^2}
\end{equation*}
converge se e solo se
\begin{equation*}
    \int_0^{+ \infty}\frac{r^{d-1}}{1 + r^2}dr < + \infty
\end{equation*}
che a sua volta è finito se e solo se
\begin{equation*}
    \int_1^{+ \infty} \frac{1}{r^{3-d}} < +\infty \Longleftrightarrow d < 2.
\end{equation*}

Quindi l'utilizzo dell'equazione del campo libero è impossibile se 
\begin{equation*}
    H =L^2(\left[ 0 , 2\pi \right]^d)
\end{equation*}
 con dimensione spaziale $d = 1$, in quanto
la convoluzione stocastica non sarebbe definita. Questo è chiaramente un
problema, in quanto è di interesse fisico poter affrontare problemi
coinvolgenti dimensioni spaziali, ad esempio, pari a tre.

\subsection{Soluzioni a valori in $H^{-s}$ }
\`E possibile evitare l'ostacolo presentato nel paragrafo
precedente utilizzando degli spazi di distribuzioni.

In tale circostanza, infatti, si riveleranno utili gli spazi del tipo
\begin{equation*}
    H^s = \left\{ \varphi = \left( \varphi_k \right)_{k \in \Z^d} \subset
    \C^{\Z^2}: \sum_{k \in \Z^d}\left( 1 + |k|^2 \right) ^s |\varphi_k|^2 <
    + \infty \right\}, \quad (s \in \R).
\end{equation*}
Tali spazi sono anch'essi degli spazi di Hilbert con il prodotto scalare
\begin{equation*}
    \left< \varphi , \psi \right>_s = \sum_{k \in \Z^d}\left( 1+ |k|^2
    \right)^s \varphi_k \overline{\psi_k}
\end{equation*}
ed è immediato verificare che
\begin{equation*}
    \left( e_k' \right)_{k \in \Z} := \left( \frac{1}{\left( 1 + |k|^2
    \right)^{s/2}} e_k \right)_{k \in \Z^d}
\end{equation*}
è base ortonormale di $H^s$.
\bigskip

Ora è quindi possibile aggirare l'ostacolo dovuto alla convoluzione
stocastica. Innanzitutto, si noti che gli autovalori di un
operatore non variano normalizzando la base originaria di $H$ ad una nuova
base di $H^s$ e, inoltre,
\begin{equation*}
    W(t) = \sum_k W_k(t) e_k = \sum_k (1 + |k|^2)^{s/2} W_k (t) e_k' = :
    W_{Q_s}(t), 
\end{equation*}
dove $Q_s = \diag\left( \left( 1 + |k|^2 \right)^{s/2} \right)$.

Quindi, affinch\'e si possa definire la convoluzione stocastica, si deve
avere
\begin{equation*}
    \sum_{k \in \Z^d} \frac{\lambda_k}{\sigma_k} = \sum_{k \in \Z^d}
    (2\pi)^{d/2} \frac{\left( 1 + |k|^2 \right)^{s/2}}{1 + |k|^2} = \sum_{k
    \in \Z^d} (2\pi)^{d/2} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2\right)^{1-s/2}} <
    +\infty
\end{equation*}
che si verifica se e solo se
\begin{equation*}
    \int_0^{+ \infty} \frac{r^{d-1}}{\left( 1 + r^2 \right)^{1 - s/2}}\,dr <
    + \infty
\end{equation*}
che è equivalente a
\begin{equation*}
    \int_1^{+ \infty} \frac{1}{r^{3-d-s}}\,dr < + \infty \Longleftrightarrow
    s < 2 -d.
\end{equation*}

In conclusione, appena la dimensione spaziale è maggiore di uno, è
sufficiente ricorrere agli spazi $H^s$. Ad esempio, se la dimensione
spaziale è pari a due, la convoluzione stocastica è ben definita in ogni
spazio $H^{-s}$ con $s>0$.

\chapter {Potenze di Wick}
\section{Introduzione}
Il problema di definire una nuova classe di potenze sorge dalla necessità di
utilizzare gli spazi $H^{-s}$ con $s>0$ affinch\'e la convoluzione stocastica
sia definita. Tali spazi,
infatti, sono spazi di distribuzioni in cui non è definito il prodotto tra
due elementi. Nel caso dell'equazione del campo libero, questo non è un
problema, ma lo diventa nel caso dell'\emph{equazione del campo
interagente}, la cui forma generale è
\begin{equation*}
    dX = \left[ \left( \Delta - I \right) X\left( t , x \right) + p\left(
    X\left( t , x \right) \right) \right]\, dt + dW\left( t , x \right),
\end{equation*}
dove $p$ è un polinomio. 
Quindi, se il processo $X$ è a valori in uno spazio $H^{-s}$ con $s>0$, non è possibile
calcolarne le potenze.

In questo capitolo, verrà sviluppata la costruzione di un nuovo tipo di
potenze negli spazi $H^{-s}$ con $s>0$, chiamate \emph{Potenze di Wick}, nel
caso in cui la dimensione spaziale sia due. Verrà inoltre introdotto uno
spazio allargato su cui sarà più agevole operare, dotato di una misura che
farà s\`i che ogni $H^{-s}$ con $s >0$ abbia ``co-misura'' nulla in tale
spazio.

\section{Alcune notazioni e lo spazio $\h$} \label{opC}
In tutto il capitolo si considererà $\o = \left[ 0 , 2\pi \right]^2$ come
dominio spaziale di funzioni reali e lo spazio di Hilbert sarà $H =
L^2\left( \o ; \R \right)$. La base ortonormale sarà
\begin{equation*}
    e_k(\xi) = \frac{1}{2\pi} e^{i k\cdot \xi}, \text{ con } \xi \in \o, \,
    k \in \Z^2
\end{equation*}
e se $x \in H$ si indicherà con $x_k$ la $k$-esima componente di $x$, ovvero
$x_k = x \cdot e_k$.
Questa base non è contenuta in $H = L^2(\o;\R)$, ma verrà comunque
utilizzata per esprimere gli elementi di tale spazio.
Infatti, gli elementi di $H$ sono funzioni reali e questo implica che nel loro sviluppo
di Fourier (che utilizza la base appena introdotta) i coefficienti di indice
opposto sono complessi coniugati, ovvero
\begin{equation*}
    c_k(x)=\overline{c_{-k}(x)}, \text{ con } x \in H,\, k \in \Z^2.
\end{equation*}
Quest'ultima osservazione conduce alla scelta del seguente spazio allargato
\begin{equation*}
    \h = \bigotimes_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \C_k, \text{ dove } \C_k=\C.
\end{equation*}
Tale spazio va cos\`i interpretato: sia $k \in \Z^2/(-1 , -1)$ e sia
$(k_1, k_2)$ un suo rappresentante, allora $k$ rappresenta l'indice (indicato con
lo stesso nome) 
\begin{equation*}
    \Z^2 \ni k = (|k_1| , \sgn(k_1)k_2 )
\end{equation*}
e se $\varphi \in \h$, allora
$c_k(\varphi) = \varphi_k$ e $c_{-k}(\varphi) = \overline{\varphi_k}$. Per
comodità, d'ora in avanti si utilizzerà solo la notazione ambigua $\varphi_k$ e
$\varphi_{-k}$ invece di $c_k(\varphi)$ e $c_{-k}(\varphi)$.

In questo modo, una volta scelto un elemento $\varphi \in \h$, lo si può
troncare opportunamente per ottenere una funzione reale. Cioè
\begin{equation*}
    \varphi_N := \sum_{|k| < N, \, k \in \Z^2/(-1,-1)} \varphi_k e_k +
    \varphi_{-k} e_{-k}, \quad N \in \N
\end{equation*}
e quindi $\varphi_N \in H$. In seguito verranno indicati con le lettere
romane $x$, $y$, $z$, $f$, $g$, ecc. gli elementi di $H$ e con le lettere greche
$\varphi$, $\psi$, $\zeta$, $\eta$, ecc. gli elementi di $\h$.
\bigskip
Lo spazio $H$, pensato come 
\begin{equation*}
    H \simeq l^2(\Z^2/(-1,-1)),
\end{equation*}
è sottospazio di $\h$, come anche ogni spazio $H^s$, $s \in \R$.

 
Un importante operatore continuo su $H$ sarà $C=-(\Delta-I)^{-1}$ che agisce
sugli elementi della base nel modo seguente:
\begin{equation*}
    C e_k = \frac{1}{1 + |k|^2} e_k, \quad k \in \Z^2.
\end{equation*}     
Il passo successivo è dotare di una misura lo spazio $\h$. Tale misura è la
misura prodotto
\begin{equation*}
    \mu = \bigotimes_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \mu_k = \bigotimes_{k \in
    \Z^2/(-1,-1)} \n\left(0 , \frac{1}{1 + |k|^2}\right),
\end{equation*}
dove $\n \left(0, \frac{1}{1+|k|^2}\right)$ indica la distribuzione di una
gaussiana complessa con media nulla e varianza $\frac{1}{1 + |k|^2}$. Per
prodotti infiniti di misure si veda \cite{halmos}.
Con questa misura, ogni $H^{-s}$ con $s>0$, se pensato come sottoinsieme di
$\h$, ha co-misura nulla in $\h$. Infatti
\begin{prop} \label{misH-s}
    Siano $\h$ e $\mu$ come sopra. Allora $\mu(H^{-s})=1$ per ogni $s>0$.
    \begin{proof}
        Calcolando
        \begin{align*}
            \int_{\h} \|\varphi\|_{-s}^2 \mu(d\varphi) &= \int_{\h}
            \sum_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2 \right)^s}
            |\varphi_k|^2 \mu(d\varphi) \\
            &= \sum_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2
            \right)^s}
            \int_{\C_k} |\varphi_k|^2 \mu_k(d\varphi_k) \\
            &= \sum_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2
            \right)^{1+s}} < +\infty, \quad \forall s>0.
        \end{align*}
        Poich\'e l'integrale della $s$-norma al quadrato su tutto $\h$ è finito,
        $\|\varphi\|_s^2$ è finita per q.o. $\varphi$ in $\h$. Quindi
        $\mu(H^{-s}) = 1$ per ogni $s>0$.
    \end{proof}
\end{prop}
Nel caso in cui si generalizzi la dimenisione spaziale da $2$ a $d$, si
ottiene un interessante e analogo risultato, ovvero
 \begin{prop}
    Siano $\h$ e $\mu$ la naturale generalizzazione di quelli definiti
    precedentemente in cui la dimensione spaziale sia $d$. Allora
    $\mu(H^{-s})=1$ per ogni $s>d/2-1$.
    \begin{proof}
        Calcolando
        \begin{align*}
            \int_{\h} \|\varphi\|_{-s}^2 \mu(d\varphi) &= \int_{\h}
            \sum_{k \in \Z^d/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2 \right)^s}
            |\varphi_k|^2 \mu(d\varphi) \\
            &= \sum_{k \in \Z^d/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2
            \right)^s}
            \int_{\C_k} |\varphi_k|^2 \mu_k(d\varphi_k) \\
            &= \sum_{k \in \Z^d/(-1,-1)} \frac{1}{\left( 1 + |k|^2
            \right)^{1+s}} < +\infty \Leftrightarrow s>d/2-1.
        \end{align*}
    \end{proof}
\end{prop}  

\section{Decomposizione di It\^o-Wiener}
\subsection{Preambolo}
Lo scopo di questa sezione è quello di dotare lo spazio $\h$, e soprattutto
lo spazio $L^2(\h,\mu)$, di alcune proprietà al fine di creare una struttura
adatta a definire un nuovo tipo di potenze. In sostanza, si creerà un
sistema ortonormale su $L^2(\h,\mu)$ con l'ausilio dei polinomi di Hermite e
tale sistema ortonormale verrà usato per decomporre lo spazio in modo che
ogni sottospazio rappresenti una diversa potenza.

\subsection{Una classe di V.A. Gaussiane su $\h$}
Nel seguito di questo capitolo si rivelerà molto utile una particolare
classe di variabili aleatorie gaussiane reali sullo spazio $\h$. Tali
variabili aleatorie si definiscono, innanzitutto, a partire dagli elementi
di $H_0$, ovvero le combinazioni lineari finite degli elementi della base di
$H$.
\begin{defn}
    Sia $x \in H_0$. Si definisce la variabile aleatoria $W_z$ su $\h$ come
    \begin{equation*}
        W_x\left( \varphi \right) = \left< \varphi, C^{-1/2} z \right> =
        \sum_{z \in \N^2} \sqrt{1 + |k|^2} \varphi_k \overline{ z_k }, \quad
        \varphi \in \h.
    \end{equation*}
\end{defn}
Si noti che $W_z$ è reale perch\'e $z_k, z_{-k}$ e $\varphi_k,
\varphi_{-k}$ sono complessi coniugati.
Inoltre, tali variabili aleatorie godono di una proprietà di isometria con lo spazio
$H_0$, come mostra la seguente
\begin{prop} \label{isom}
    Siano $z,\,z' \in H_0$, allora
    \begin{equation*}
        \left< W_z , W_{z'} \right> = \int_{\h} W_z\left( \varphi \right)
        \overline{W_{z'}\left( \varphi \right)} \mu\left( d\varphi \right) =
        \left< z, z' \right>.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        \begin{align*}
            \R \ni \int_{\h} W_z\left( \varphi \right) \overline{W_{z'}\left(
            \varphi \right)} \mu\left( d\varphi \right) &= \sum_{k \in
            \Z^2} \left( 1 + |k|^2 \right) z_k' \overline{z_k} \int_{\C_k}
            | \varphi_k |^2 \mu(d\varphi_k)\\
            &= \sum_{k \in \Z^2} z_k \overline{z_k'} \\
            &= \left< z , z' \right>.
        \end{align*}
    \end{proof}
\end{prop}

Quindi, l'applicazione
\begin{align*}
    &H_0 \longrightarrow L^2(\h, \mu)\\
    &z \longmapsto W_z
\end{align*}
è un'isometria e, poich\'e $H_0$ è denso in $H$, può essere estesa a tutto
lo spazio di Hilbert.

Inoltre,
\begin{prop}
    Sia $z \in H$. Allora $W_z$ è una variabile aleatoria Gaussiana reale di
    media nulla e varianza $|z|^2$.
    \begin{proof}
        Se $z \in H_0$, chiaramente $W_z$ ha media nulla e dalla
        Proposizione \ref{isom} ha varianza $|z|^2$.
        Se, invece, $z \in H$, sia $(z_n)_{n \in \N}\subset H_0$ una successione
        tendente a $z$ in $H$, allora $W_{z_n} \rightarrow W_z$ in
        $L^2(\h, \mu)$. Infatti $|W_z - W_{z_n}|_{L^2} = | W_{z - z_n}
        |_{L^2} = | z - z_n |$. Essendo $W_z$ limite di Gaussiane è a
        sua volta una Gaussiana di media nulla e varianza $\lim_{n
        \rightarrow \infty} |z_n|^2 = |z|^2$.
    \end{proof}
\end{prop}

\subsection{I Polinomi di Hermite}
I \emph{polinomi di Hermite} giocano un ruolo fondamentale nel definire una
struttura di ortogonalità nello spazio $L^2(\h,\mu)$.

Il punto di partenza per definire tali polinomi è la seguente funzione
analitica
\begin{equation*}
    F(t,\xi) = e^{-\frac{t^2}{2}+ t \xi},\quad \text{ con } t , \xi \in \R
\end{equation*}
che può, quindi, essere espressa come
\begin{equation*}
    F(t , \xi) = \sum_{n \in \N} \frac{t^n}{n!} H_n(\xi),
\end{equation*}
dove gli $H_n$ sono polinomi, come mostra la
\begin{prop}
    Per ogni $n \in \N$, $H_n$ è può essere espresso come
    \begin{equation*}
        H_n(\xi) = (-1)^n e^{\frac{\xi^2}{2}} D_{\xi}^n \left(
        e^{-\frac{\xi^2}{2}} \right).
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Si ha
        \begin{align*}
            F(t, \xi) &= e^{\frac{\xi^2}{2}} e^{-\frac{1}{2}\left( t - \xi \right)^2}
            = \sum_{n \in \N} \frac{t^n}{n!} e^{\frac{\xi^2}{2}}
            \left. D_t^n \left( e^{-\frac{1}{2}(t-\xi)^2} \right)
            \right|_{t=0} \\
            &= \sum_{n \in \N} (-1)^n \frac{t^n}{n!}
            e^{\frac{\xi^2}{2}} D_{\xi}^n \left( e^{-\frac{\xi^2}{2}} \right),
        \end{align*}
        da cui segue la conclusione.
    \end{proof}
\end{prop}

$H_n$ è quindi un polinomio di grado $n$ e viene chiamato $n$-esimo
polinomio di Hermite. Ecco alcuni esempi di questi polinomi:
\begin{align*}
    & H_0(\xi) = 1, \quad H_1(\xi) = \xi, \quad H_2(\xi) =
    \left( \xi^2 - 1 \right), \\
    & H_3(\xi) = \left( \xi^3 - 3\xi \right), \quad
    H_4(\xi) = \left( \xi^4 -6\xi^2 +3 \right).
\end{align*}

Un'importante proprietà dei polinomi di Hermite che sarà utile nel seguito
del capitolo è
\begin{prop} \label{binom}
    Siano $x , y \in \R$, allora
    \begin{equation*}
        H_n(x + y) = \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} H_j(2x)
        H_{n-j} (2y).
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Si ha
        \begin{align*}
            \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} H_j(x) H_{n-j} (y) &= \sum_{j=0}^n
            \binom{n}{j} \left. D_t^j\left( e^{-\frac{t^2}{2} + tx} \right)
            \right|_{t=0} \left. D_{t}^{n-j} \left( e^{-\frac{t^2}{2} + ty}
            \right) \right|_{t=0} \\
            &= \left. D_t^n \left( e^{-t^2 + 2t \frac{x+y}{2}} \right)
            \right| = 2^n H_n\left( \frac{x+y}{2} \right),
        \end{align*}
        da cui la conclusione è immediata.
    \end{proof}
\end{prop}

\subsection{Un sistema ortogonale in $L^2(\h, \mu)$}
Lo scopo di questo paragrafo è costruire un sistema ortonormale per lo
spazio $L^2(\h, \mu)$. In questo i polinomi di Hermite avranno un ruolo
fondamentale, infatti, a partire da essi e da una loro proprietà di
``ortogonalità'' verranno costruiti una sorta di polinomi di Hermite su
$L^2(\h, \mu)$ che fungeranno da base ortonormale per tale spazio.

Innanzitutto, il seguente lemma pone le basi per le proprietà di
ortogonalità che verranno indagate.
\begin{lem} \label{ortoH}
    Siano $x, y \in H$ tali che $|x|=|y|=1$ e siano $n,m \in \N$. Allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} H_n(W_h) H_m(W_g) d\mu = n! \delta_{n,m} \left[ \left<h , g \right>
        \right]^n.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Siano $s,t \in \R$. Allora
        \begin{align*}
            \int_{\h} F(t, W_h) F(s, W_g) &= e^{-\frac{t^2+s^2}{2}}
            \int_{\h} e^{t W_h + s W_g} d\mu =  e^{-\frac{t^2+s^2}{2}}
            \int_{\h} e^{W_{t h + s g}} d\mu \\
            &= e^{-\frac{t^2 + s^2}{2}} e^{\frac{1}{2} |t h + s g|^2} =
            e^{t s \left<h , g\right>},
        \end{align*}
        in quanto $|h| = |g| = 1$. Da questo segue che
        \begin{equation*}
            \sum_{k \in \N} \frac{(ts)^k}{k!}\left< h , g \right>^k = e^{t s
            \left< h , g \right>} = \sum_{m,n \in \N}\frac{t^n s^m}{n! m!}
            \int_{\h} H_n(W_h) H_m (W_g) d\mu
        \end{equation*}
        e quindi la conclusione.
    \end{proof}
\end{lem}

Con questa proprietà dei polinomi di Hermite, si può procedere alla
costruzione del sistema ortonormale di $L^2(\h, \mu)$. Sia $\Gamma$
l'insieme di tutte le mappe di $\Z^2$ in $\N$ con valore non nullo in un
numero finito di punti, ovvero l'insieme delle applicazioni
\begin{align*}
    \gamma : \Z^2 &\longrightarrow \N \\
    k &\mapsto \gamma_k
\end{align*}
tali che
\begin{equation*}
    |\gamma| := \sum_{k \in \Z^2} \gamma_k < +\infty.
\end{equation*}

Si possono ora definire i polinomi di Hermite su $\h$. Dato $\gamma \in
\Gamma$, sia $H_\gamma : \h \longrightarrow \R$ definita come
\begin{equation*}
    H_\gamma (\varphi) = \prod_{k \in \Z^2} \frac{1}{\sqrt{\gamma_k !}} H_{\gamma_k} \left(
    W_{e_k}(\varphi) \right)
\end{equation*}
Tale produttoria è ben definita poich\'e tutti i termini eccetto un numero
finito sono uguali a $H_0(W_{e_k})\equiv 1$.

Il seguente teorema fornisce il risultato cercato
\begin{thm} \label{ortocompl}
    $(H_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}$ è un sistema ortonormale e completo in
    $L^2(\h, \mu)$.
    \begin{proof}
        L'ortonormalità discende immediatamete dal Lemma \ref{ortoH}. Siano
        $\gamma,\eta \in \Gamma$, poich\'e i $W_{e_n}$ sono indipendenti si ha
        \begin{align*}
            \int_{\h} H_\gamma H_\eta d\mu &= \int_{\h} \prod_{k \in \Z^2}
            \frac{H_{\gamma_k}(W_{e_k})}{\sqrt{\gamma_k!}}
            \frac{H_{\eta_k}(W_{e_k})}{\sqrt{\eta_k!}} d\mu \\ 
            &= \prod_{k \in \Z^2} \int_{\h} \frac{H_{\gamma_k}(W_{e_k})}{\sqrt{\gamma_k!}}
            \frac{H_{\eta_k}(W_{e_k})}{\sqrt{\eta_k!}} d\mu = \prod_{k \in \Z^2} \delta_{\gamma_k, \eta_k}\\
            &= \delta_{\gamma, \eta}.
        \end{align*}
        Quindi il sistema è ortonormale.

        Per quanto riguarda la completezza è sufficiente mostrare che se
        $\eta \in L^2(\h, \mu)$ è tale che
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \eta H_{\gamma} d\mu = 0 \quad \forall \gamma \in
            \Gamma,
        \end{equation*}
        allora $\eta = 0$ in $L^2 (\h, \mu)$.
        Da questa condizione, vale in particolare
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \eta H_n(W_{e_k}) d\mu = 0 \quad \forall n \in \N, k
            \in \Z^2
        \end{equation*}
        e di conseguenza
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \eta F(t, W_{e_k}) d\mu = 0 \quad \forall t \in \R,
            k \in \Z^2.
        \end{equation*}
        In modo analogo vale anche
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \eta F(t_1, W_{e_{k_1}}) F(t_2, W_{e_{k_2}}) \dots F(t_n,
            W_{e_{k_n}}) d\mu = 0,
        \end{equation*}
        per ogni $n \in \N$, $k_1, k_2, \dots, k_n \in \Z^2$, $t_1 , t_2,
        \dots , t_n \in \R$ e di conseguenza si ha anche (con le stesse
        notazioni)
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \eta e^{\sum_{j = 1}^{n} t_j W_{e_{k_j}}} d\mu = 0.
        \end{equation*}
        Ma $t_j W_{e_{k_j}}(\varphi) = \sqrt{1 + |k_j|^2} t_j
        \varphi_{k_j}$ e dal precedente integrale segue quindi
        \begin{equation} \label{intzero}
            \int_{\h} \eta e^{\sum_{j=1}^n s_j \varphi_{k_j}} d\mu = 0
        \end{equation}
        per ogni $n \in \N$, $s_1, \dots, s_n \in \R$, $k_1, \dots, k_n \in
        \Z^2$.

        Poich\'e il sottospazio lineare di $L^2(\h, \mu)$ generato da
        \begin{equation*}
            \left\{ \exp\left( \sum_{j = 1}^n s_j \varphi_{k_j} \right): \,
            n\in \N, \, s_1, \dots s_n \in \R, \, k_1, \dots, k_n \in \Z^2 \right\}
        \end{equation*}
        è denso in $L^2(\h, \mu)$, la conclusione segue da (\ref{intzero}). 
    \end{proof}
\end{thm}
     
\subsection{ I Sottospazi $L^2_n(\h, \mu)$}
Ora che si è dotato lo spazio $L^2(\h, \mu)$ di una base ortonormale, lo si
può facilmente scomporre in sottospazi tra loro ortogonali, in modo che ogni
sottospazio rappresenti un diverso grado di potenza. Tale decomposizione
prende il nome di \emph{decomposizione di It\^o-Wiener}.

Per ogni $n \in \N$ verrà indicato con $L^2_n(\h, \mu)$ la chiusura del
sottospazio generato da
\begin{equation*}
    \left\{ H_n \left( W_f \right) : \, f \in H, |f| = 1 \right\}.
\end{equation*}
Quindi, ad esempio, $L^2_0(\h, \mu)$ è lo spazio delle funzioni costanti, mentre
$L^2_1(\h, \mu)$ è lo spazio di tutti i $W_f$ con $f \in H$.

La seguente proposizione fa luce sulla struttura degli spazi $L^2_n(\h, \mu)$ e
sul motivo per cui sono a due a due ortogonali.
\begin{prop}
    Per ogni $n \in \N$ lo spazio $L^2_n(\h,\mu)$ coincide con la chiusura
    del sottospazio generato da
    \begin{equation*}
        V_n := \left\{ H_\gamma : \, |\gamma| = n \right\}.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Analogamente alla dimostrazione della completezza nel Teorema
        \ref{ortocompl}, è sufficiente mostrare che se $n, m \in \N$,
        $f \in H$ con $|f| = 1$, $k_1, k_2, \dots, k_m \in \N$ tali
        che $k_1 + k_2 + \dots + k_m \neq n$ e $e_1, e_2, \dots, e_m$ sono
        elementi distinti della base ortogonale di $H$, allora
        \begin{equation*}
            \int_{\h} H_{k_1}(W_{e_1}) \dots H_{k_m}(W_{e_m}) H_n(W_f) d\mu =
            0.
        \end{equation*}
        Infatti, posto
        \begin{align*}
            F &:= \int_{\h} F(t, W_{e_1}) \dots F(t, W_{e_m})
            F(t, W_f) d\mu \\
            &= e^{-\frac{1}{2}(m + 1)t^2}
            \int_{\h} \exp(W_{t (e_1 + \dots + e_m + f)})d\mu \\
            &=e^{t^2 \left< e_1 + \dots + e_m , f \right>} =
            e^{t^2 (f_1 + \dots + f_m)},
        \end{align*}
        da cui
        \begin{align*}
            F &= \sum_{k_1, \dots , k_m, k_n \in \N} \frac{t^{k_1 + \dots +
            k_m} t^{k_n}}{k_1! \dots k_m! k_n!}
            \int_{\h} H_{k_1}(W_{e_1}) \dots H_{k_m}(e_m) H_{k_n}(W_f) d\mu
            \\
            &= \sum_{j \in \N} \frac{t^{2j}}{j!}(f_1 + \dots + f_m)^j.
        \end{align*}

        Poich\'e, come da ipotesi, $k_1 + \dots + k_m \neq k_n$, dal confronto
        delle due serie precedenti si conclude.
    \end{proof}
\end{prop}

Da questa proposizione è quindi chiaro che i sottospazi $L^2_n(\h, \mu)$
sono a due a due ortogonali, in quanto sono generati da elementi tra loro
ortogonali. Inoltre, la loro somma da tutto lo spazio, in quanto contengono
tutti gli elementi della base. In breve
\begin{equation*}
    L^2(\h, \mu) = \bigoplus_{n=0}^{\infty} L^2_n(\h, \mu).
\end{equation*}

\section{Le potenze di Wick}
Ora che è stata definita una struttura di ortogonalità nello spazio
$L^2(\h, \mu)$ è più agevole effettuare alcune operazioni, quali le
proiezioni, che permetteranno di definire le Potenza di Wick.

\subsection{Utili proprietà su $L^2(\h,\mu)$}
La proprietà fondamentale dello spazio $L^2(\h, \mu)$ riguarda le proiezioni
ortogonali delle funzioni del tipo $W_f^n$ e viene enunciata dal
seguente
\begin{thm} \label{proiezwf}
    Sia $f \in H$ tale che $|f| = 1$ e sia $n \in \N$. Allora
    \begin{equation*}
        \Pi_n (W_f^n) = H_n(W_f)
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Poich\'e $H_n (W_f) \in L^2_n (\h, \mu)$ per definizione, è
        sufficiente controllare che $W_f^n - H_n (W_f)$ sia
        ortogonale a tutto $L^2_n (\h, \mu)$, ovvero
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \left[ W_f^n - H_n(W_f) \right]
            H_n(W_g) d\mu, \quad \forall g \in H, \, |g| = 1
        \end{equation*}
        che è equivalente a
        \begin{equation} \label{dadim}
            \int_{\h} W_f^n H_n (W_g) d\mu = \left< f , g
            \right>^n.           
        \end{equation}
        Tale risultato segue dall'identità
        \begin{align*}
            \int_{\h} F(t , W_f) H_n (W_g) d\mu &= \int_{\h} \sum_{m \in \N }
            \frac{t^m}{m!} H_m (W_f) H_n (W_g) d\mu \\
            &= t^n \left< f, g \right>^n,
        \end{align*}
        ovvero
        \begin{equation} \label{refthmseg}
            \int_{\h} e^{t W_f} H_n (W_g) d\mu = t^n
            e^{\frac{t^2}{2}} \left< f , g \right>^n
        \end{equation}
        che derivata $n$ volte e calcolata in $t = 0$ fornisce la
        (\ref{dadim}).
    \end{proof}
\end{thm}

Da questo teorema discende immediatamente il

\begin{corol}
    Sia $f \in H$ tale che $|f| = 1$. Allora
    \begin{equation*}
        \Pi_n \left( e^{t W_f} \right) = t^n
        e^{\frac{t^2}{2}}H_n (W_f) 
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        La dimostrazione segue fondamentalmente gli stessi passi del teorma
        precedente e la conclusione giunge da (\ref{refthmseg}).
    \end{proof}
\end{corol}

\subsection{Definizione di Potenza di Wick}
Come visto nella precedente sezione, ogni spazio $L^2_n(\h,\mu)$ rappresenta
in un certo senso la potenza $n$-esima, essendo lo spazio a cui appartengono
gli $n$-esimi polinomi di Hilbert delle funzioni $W_f$. Quindi si può
definire la potenza di un elemento $\varphi \in \h$ nel seguente modo.

Inizialmente si tronca $\varphi$ (calcolato in un fissato $\xi \in \o$) con
un generico $N \in \N$ in modo da ottenere
\begin{equation*}
    \varphi_N\left( \xi \right) = \sum_{k \in \Z^2 \\ |k| \leq N} \left<
    \varphi, e_k \right> e_k\left( \xi \right),
\end{equation*}
in seguito si eleva $\varphi_N (\xi)$ e infine lo si proietta sull'opportuno
sottospazio di $L^2(\h,\mu)$. Tale potenza, chiamata normalizzata, verrà
indicata con $\:\varphi_N^n\:(\xi)$. In breve:
\begin{equation*}
    \:\varphi_N^n\: (\xi) = \Pi_n \left( \varphi_N^n (\xi) \right),
\end{equation*}
dove $\varphi_N^n(\xi)$ è pensata come funzione su $\h$, ovvero, fissati
$\xi \in \o$, $n \in \N$ e $ N \in \N \setminus \left\{ 0 \right\}$, si ha
l'applicazione
\begin{eqnarray*}
    \h &\longrightarrow& \R \\
    \varphi &\mapsto& \:\varphi_N^n\: (\xi).
\end{eqnarray*}

Per poter calcolare $\Pi_n \left( \varphi_N^n (\xi) \right)$, si può
esprimere $\varphi_N (\xi)$ come funzione del tipo $W_f$, infatti
\begin{equation} \label{scal}
    \varphi_N(\xi) = \sum_{k \leq N} \left< \varphi, e_k \right> e_k
    (\xi) = \left< \varphi , C^{-1/2} \left( \sum_{k \leq N}
    \frac{\overline{e_k(\xi)}}{\sqrt{1 + |k|^2}} e_k \right)\right>.
\end{equation}
In seguito sarà utile, però, avere funzioni del tipo $W_f$ con $|f| = 1$.
Siano, allora,
\begin{equation*}
    \rho_N = \left\| \sum_{k \leq N} \frac{\overline{e_k(\xi)}}{\sqrt{1 + |k|^2}}
    e_k \right\| = \left( \sum_{k \leq N} \frac{1}{\sqrt{1 + |k|^2}}
    \right)^{1/2},
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
    \eta_N (\xi) = \frac{1}{\rho_N} \sum_{|k| \leq N}
    \frac{\overline{e_k(\xi)}}{\sqrt{1 + |k|^2}} e_k,
\end{equation*}
quindi (\ref{scal}) si può scrivere come
\begin{equation*}
    \varphi_N (\xi) = \rho_N W_{\eta_n(\xi)}\left( \varphi \right).
\end{equation*}

Ora, utilizzando il Teorema (\ref{proiezwf}), è immediato calcolare anche la
proiezione di $\varphi_N^n(\xi)$ su $L^2_n(\h, \mu)$.
\begin{prop}
    Siano $\varphi, n, N, \xi$ come sopra. Allora
    \begin{align*}
        \: \varphi_N^n(\xi)\: = \Pi_n\left( \varphi_N^n(\xi) \right) =
        \rho_N^n \Pi_n(W_{\eta_N(\xi)}^n) &= \rho_N^n
        H_n(W_{\eta_N(\xi)}) \\
        &= \rho_N^n H_n \left( \frac{\varphi_N(\xi)}{\rho_N}
        \right).
    \end{align*}
\end{prop}

Si noti che le prime potenze valgono
\begin{eqnarray*}
    &&\: \varphi_N^1 \: (\xi) = \varphi_N(\xi), \\
    &&\: \varphi_N^2 \: (\xi) = \varphi_N(\xi)^2 - \rho_N^2, \\
    &&\: \varphi_N^3 \: (\xi) = \varphi_N(\xi)^3 - 3 \rho_N^2
    \varphi_N(\xi),
\end{eqnarray*}
infatti la potenza rinormalizzata è pari a quella normale a meno di termini
di ordine inferiore che sono divergenti per $N \rightarrow \infty$.
\bigskip

Ora, affinch\'e questa sia una buona definizione, restano da studiare i
possibili modi con qui queste potenze di elementi troncati convergono o
meno quando $N \rightarrow \infty$.

\section {Proprietà delle potenze di Wick}
\subsection{Preambolo}
In questa sezione verranno indagati differenti modi in cui le potenze
appena definite possono convergere. Le dimostrazioni di questi fatti si
baseranno fondamentalmente sul dimostrare la convergenza di $:\varphi_N^n:$
con alcune norme integrate su tutto lo spazio $\h$. In questo modo si può
concludere che per quasi ogni elemento $\varphi \in \h$ tale potenza esiste.
Si noti che quasi ogni elemento di $\h$ appartiene agli spazi $H^{-s}$ con
$s > 0$. In seguito verrà anche mostrata una proprietà sulle potenze di
binomi.

\subsection{Convergenza ``debole''}
L'obiettivo di questa sezione è dimostrare una sorta di convergenza debole
delle potenze. In pratica, per ogni $x \in H$ si tratta di
dimostrare la convergenza di $\left< \varphi_N^n , x \right>$.

A tal fine sarà utile definire
\begin{equation*}
    \gamma_N = \sum_{|k| \leq N} \frac{1}{1 + |k|^2} e_k, \quad N \in \N
\end{equation*}
e il suo limite in $H$
\begin{equation*}
    \gamma = \sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{1 + |k|^2} e_k.
\end{equation*}
Le $\gamma_N$, e di conseguenza anche $\gamma$, sono funzioni pari, infatti
\begin{equation*}
    e_k(-\xi) + e_{-k}(-\xi) = \overline{e_k(\xi)} +
    \overline{e_{-k}(\xi)} = e_{-k}(\xi) + e_k(\xi).
\end{equation*}

Nel seguito sarà utile anche la seguente identità
\begin{equation*}
    \left< \eta_N(\xi_1), \eta_M (\xi_2)\right> = \frac{1}{\rho_N \rho_M} \gamma_N
    (\xi_2 - \xi_1), \quad \xi_1,\xi_2 \in \o, \, N,M \in \N, \, N \leq M.
\end{equation*}
Infatti,
\begin{align*}
    \left< \eta_N(\xi_1), \eta_M (\xi_2)\right> &=  \frac{1}{\rho_N \rho_M} \left<
    \sum_{|k| \leq N} \frac{\overline{e_k(\xi_1)}}{\sqrt{1 +
    |k|^2}} e_k, \sum_{|k| \leq M}
    \frac{\overline{e_k(\xi_2)}}{\sqrt{1 + |k|^2}} e_k \right> \\
    &= \frac{1}{\rho_N \rho_M} \sum_{|k| \leq N} \frac{e_k (\xi_2 -
    \xi_1)}{1 + |k|^2} =  \frac{1}{\rho_N \rho_M} \gamma_N (\xi_2 - \xi_1).
\end{align*}

Si noti che $\gamma$ non è limitata (in quanto in $(0 , 0)$ vale
$\sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{1 + |k|^2}$ che non è finito), ma essa converge
in $H$ come anche in ogni $L^p(\o)$ con $p > 2$. Per dimostrarlo sarà
necessario il teorema
\begin{thm} [di Riesz-Thorin]
    Siano $(X, \mathcal{M},\mu)$ e $(Y, \mathcal{N}, \nu)$ spazi di misura
    e siano $p_0, p_1, q_0, q_1 \in \left[ 1 , +\infty \right]$. Si supponga
    $\nu$ semifinita nel caso in cui $q_0 = q_1 = +\infty$ e si definiscano
    $p_t$ e $q_t$ in modo che
    \begin{equation*}
        \frac{1}{p_t} = \frac{1-t}{p_0} + \frac{t}{p_1}, \qquad
        \frac{1}{q_t} = \frac{1-t}{q_0} + \frac{t}{q_1}.
    \end{equation*}
    Se $T$ è un'applicazione lineare da $L^{p_0}(\mu) + L^{p_1}(\mu)$ in
    $L^{q_0}(\nu) + L^{q_1}(\nu)$ tale che $\|Tf\|_{q_0} \leq M_0
    \|f\|_{p_0}$ se $f \in L^{p_0}(\mu)$ e $\|Tf\|_{q_1} \leq M_1
    \|f\|_{p_1}$ se $f \in L^{p_1}(\mu)$, allora
    \begin{equation*}
        \|Tf\|_{q_t} \leq M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_t}
    \end{equation*}
    con $f \in L^{p_t}(\mu)$ e $0 < t <1$.
\end{thm}
A tal proposito si veda \cite{folland}.
Si può ora dimostrare la
\begin{prop} \label{convgammalp}
    Per ogni $p \geq 2$, sia $q$ il suo esponente coniugato. Allora
    \begin{equation*}
        \|\gamma\|_{L^p(\o)} \leq \left[ \sum_{k \in \Z^2} \left( \frac{1}{1 + |k|^2}
        \right)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{\frac{p-1}{p}}.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Si consideri l'applicazione lineare $\Phi$ di $\C^{\Z^2}$ che mappa
        \begin{equation*}
            (\lambda_j)_{j \in \Z^2} \mapsto \sum_{j \in \Z^2} \lambda_j e_j.
        \end{equation*}
        Tale applicazione è solo una scrittura formale, ma si
        considerino ora i casi
        \begin{eqnarray*}
            \Phi_1 : l^1(\Z^2) \longrightarrow L^{\infty}(\o),\\
            \Phi_2 : l^2(\Z^2) \longrightarrow L^2(\o).
        \end{eqnarray*}          
        La seconda è la nota isometria della serie di Fourier ed ha, quindi,
        norma operatoriale pari ad $1$, mentre la prima ha norma minore o
        uguale ad $1$, infatti
        \begin{equation*}
            \left\| \sum_{k \in Z^2} \lambda_k e_k \right\|_{ L^{\infty}
            (\o) } = \sup_{\xi \in \o} \left| \sum_{k \in \Z^2} \lambda_k
            e_k(\xi) \right| \leq  \sum_{k \in \Z^2} |\lambda_k|
            = \|(\lambda_k)_{k \in \Z^2}\|_{l^1(\Z^2)}.
        \end{equation*}
        Per il teorema di Riesz-Thorin, quindi, tutte le mappe
        \begin{equation*}
            \Phi_q : l^q(\Z^2) \longrightarrow L^p (\o)
        \end{equation*}
        con $q \in \left[ 1,2 \right]$ e $p$ esponente coniugato di $q$
        hanno norma minore o uguale ad $1$, ovvero
        \begin{equation*}
            \left\| \sum_{k\in Z^2} \lambda_k e_k \right\|_{L^p(\o)} \leq
            \left\| \left( \lambda_k \right)_{k \in \Z^2}
            \right\|_{l^q(\Z^2)},
        \end{equation*}
        da cui la conclusione.        
    \end{proof}
\end{prop}

Da questa proposizione discende immediatamente il
\begin{lem} \label{convsottgamma}
    Sia $p \geq 2$ e $N \in \N$, allora
    \begin{equation*}
        \left\| \gamma - \gamma_N \right\|_{L^p} \sim N^{-\frac{2}{p}}.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Per la proposizione precedente si ha
        \begin{align*}
            \left\| \gamma - \gamma_N \right\|_{L^p} &\leq \left[ \sum_{|k|
            > N} \left( \frac{1}{1 + |k|^2} \right)^{\frac{p}{p-1}}
            \right]^{\frac{p-1}{p}} \\
            &\sim \left[ \int_N^{+ \infty} \frac{r}{\left(1 +
            r^2\right)^{\frac{p}{p-1}}}dr \right]^{\frac{p-1}{p}}\\ 
            &\sim \left[ \left( 1 + N^2
            \right)^{-\frac{1}{p-1}}\right]^{\frac{p-1}{p}} \sim
            N^{-\frac{2}{p}}.
        \end{align*}
    \end{proof}
\end{lem}

Ora si può dimostrare quanto affermato inizialmente, ovvero
\begin{thm} \label{3p5}
    Siano $M > N$ e $x \in H$. Allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} |\left< \: \varphi_M^n \: - \:\varphi_N^n \:, x \right>|^2
        \mu(d\varphi) = \left< (\gamma_M -\gamma_N) * x , x \right>
    \end{equation*}
    tende a zero per $N \rightarrow \infty$.
    Quindi il limite
    \begin{equation*}
        \left< \: \varphi^n \: , x \right> := \lim_{N \rightarrow \infty}
        \left< \: \varphi_N^n \: , x \right>
    \end{equation*}
    esiste in $L^2(\h,\mu)$.
    \begin{proof}
        Sia
        \begin{equation*}
            I_{M,N} = \int_{\h} |\left< \: \varphi_M^n \: - \:\varphi_N^n
            \:, x \right>|^2 \mu(d\varphi)
        \end{equation*}
        Allora si ha
        \begin{eqnarray*}
            I_{M,N} &=&\int_{\h} \left|\int_{\o}  \: \varphi_M^n \:
            (\xi) - \: \varphi_N^n \: (\xi), x(\xi) d\xi \right|^2
            \mu(d\varphi)\\
            &=& \int_{\o \times \o} x(\xi) x(\xi_1)
            \int_{\h} \left[ \: \varphi_M^n \: (\xi) - \: \varphi_N^n \:
            (\xi) \right]\\
            && \times \left[ \: \varphi_M^n \: (\xi_1) - \: \varphi_N^n \:
            (\xi_1) \right] \mu(d\varphi) d\xi d\xi_1 \\
            &=& \int_{\o \times \o} x(\xi) x(\xi_1) \\
            && \times \int_{\h} \left[\rho_M^n H_n (W_{\eta_M (\xi)}
            (\varphi)) - \rho_N^n H_n ( W_{\eta_N (\xi)} (\varphi))\right] \\
            && \times \left[\rho_M^n H_n (W_{\eta_M (\xi_1)}
            (\varphi)) - \rho_N^n H_n ( W_{\eta_N (\xi_1)} (\varphi))\right]
            \mu(d\varphi) d\xi d\xi_1 \\
            &=& \int_{\o \times \o} x(\xi) x(\xi_1) \\
            && \times \left[ \rho_M^{2n} \left< \eta_M (\xi) , \eta_M
            (\xi_1)\right>^n - \rho_M^n \rho_N^n \left< \eta_M(\xi) , \eta_N
            (\xi_1) \right>^n \right. \\
            &&\left. - \rho_M^n \rho_N^n \left< \eta_M(\xi_1) , \eta_N (\xi)
            \right>^n + \rho_N^{2n} \left< \eta_N (\xi) , \eta_N (\xi_1)
            \right>^n \right] d\xi d\xi_1 \\
            &=& \int_{\o \times \o} \left[ \gamma_M^n (\xi - \xi_1) - 
            \gamma_N^n (\xi - \xi_1)\right] x (\xi) x (\xi_1) d\xi d\xi_1 \\
            &=& \left< \left( \gamma_M^n - \gamma_N^n \right) * x , x
            \right> \leq \left\| \gamma_M^n - \gamma_N^n \right\|_{L^1
            (\o)} \left\| x \right\|_H^2.
        \end{eqnarray*}
        
        Ora resta da dimostrare che $\left\| \gamma_M^n - \gamma_N^n
        \right\|_{L^1 (\o)} \rightarrow 0$ quando $M,N \rightarrow \infty$.
        Utilizzando la disuguaglianza di H\"older, la Proposizione
        \ref{convgammalp} e il Lemma \ref{convsottgamma}, si ottiene
        \begin{align*}
            \left| \gamma_M^n - \gamma_N^n \right|_{L^1(\o)} &= \left|
            \left( \gamma_M - \gamma_N \right) \sum_{j=0}^{n-1} \gamma_M^j
            \gamma_N^{n-1-j} \right|_{L^1} \\
            &\leq \left| \gamma_M - \gamma_N \right|_{L^2}
            \sum_{j=0}^{n-1} \left|\gamma_M \right|_{L^{4j}}^j \left|
            \gamma_N \right|_{L^{4(n-1-j)}}^{n-1-j} \\
            &\leq \left( \left| \gamma_M - \gamma \right|_{L^2} + \left|
            \gamma -  \gamma_N \right|_{L^2} \right)
            \sum_{j=0}^{n-1} \left|\gamma \right|_{L^{4j}}^j \left|
            \gamma \right|_{L^{4(n-1-j)}}^{n-1-j} \\
            &\leq 2 \left| \gamma -  \gamma_N \right|_{L^2} 
            \sum_{j=0}^{n-1} \left|\gamma \right|_{L^{4j}}^j \left|
            \gamma \right|_{L^{4(n-1-j)}}^{n-1-j} \sim \frac{1}{N}.
        \end{align*}
        Questo conclude la dimostrazione perch\'e $M>N$.
    \end{proof}
\end{thm}

\subsection{Convergenza in $L^2(\h,\mu;H)$}
Le potenze di Wick, invece, non appartengono a $L^2(\h,\mu;H)$ come mostra
la seguente
\begin{prop}
    Sia $n \in \N$, $n \geq 1$. Allora $\: \varphi^n \:$ non appartiene a
    $L^2(\h,\mu;H)$.
    \begin{proof}
        \begin{align*}
            \int_{\h} \left|\:\varphi_N^n \: \right|^2 \mu(d \varphi) &=
            \int_{\h}\sum_{k \in \Z^2} | \left< \: \varphi_N^n \: , e_k
            \right>|^2 \mu (\varphi) = \sum_{k \in \Z^2} \left| \left< \:
            \varphi_N^n \: , e_k \right> \right|^2 \mu (d \varphi) \\
            &= \sum_{k \in \Z^2} \left< \gamma_N^n * e_k , e_k \right>
            \quad \text{per il Teorema \ref{3p5}} \\
            &= (2\pi)^2 \sum_{k \in \Z^2} \left< \gamma_N^n , e_k \right> =
            n! (2\pi)^2 \sum_{k \in \Z^2} \left< \left( \sum_{|j| \leq N}
            \frac{1}{1 + |j|^2} \right)^n , e_k \right> \\
            &= (2\pi)^2 \sum_{k \in \Z^2} \sum_{\stackrel{k_1 + \dots +
            k_n = k}{|k_1|, \dots , |k_n| \leq N}}
            \frac{1}{1 + |k_1|^2} \frac{1}{1 + |k_2|^2} \dots
            \frac{1}{1 + |k_n|^2} \\
            &= (2\pi)^2 \left( \sum_{|k| \leq N} \frac{1}{1 + |k|^2}
            \right)^n \xrightarrow{N \rightarrow \infty} +\infty.
        \end{align*}
    \end{proof}
\end{prop}

La terza uguaglianza è motivata dal
\begin{lem}
    Sia $x \in H$. Allora
    \begin{equation*}
        \left< x * e_k , e_k \right> = (2\pi)^2 \left< x , e_k \right>.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Il fatto fondamentale è che
        \begin{align*}
            e_k * e_j &= \int_{\o} e_k (\xi - \xi_1) e_j (\xi_1) d \xi_1 =
            \int_{\o} e^{ik(\xi - \xi_1)} e^{ij\xi_1} d\xi_1 \\
            &= e^{ik\xi} \int_{\o} e^{i(j-k)\xi_1} d\xi_1 =
            (2\pi)^2 \delta_{j,k} e_k(\xi),
        \end{align*}
        da cui è immediato il risultato.
    \end{proof}
\end{lem}

Sebbene le potenze non appartengano a $L^2(\h,\mu;H)$, ne appartiene una
loro versione smorzata da potenze dell'operatore $C$ definito in
\ref{opC}, come mostra la
\begin{prop} \label{convC}
    Siano $M > N$ e $\varepsilon > 1/2$. Allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} |C^\varepsilon \: \varphi_M^n \: - C^\varepsilon \:
        \varphi_N^n \: |^2 \mu(d\varphi) \xrightarrow{M,N \rightarrow
        \infty} 0,
    \end{equation*}
    quindi la successione $C^\varepsilon \: \varphi_N^n \:$ è di Cauchy in
    $L^2(\h,\mu; H)$ e ivi converge al limite $C^\varepsilon \: \varphi^n$.
    \begin{proof}
        Sia
        \begin{equation*}
            I_{M,N} := \int_{\h} | C^\varepsilon \: \varphi_M^n \: -
            C^\varepsilon \: \varphi_N^n \:|^2 \mu (d\varphi).
        \end{equation*}
        Allora
        \begin{align*}
            I_{M,N} &= \int_{\h} \left| C^\varepsilon \left( \sum_{k \in
            \Z^2} \left< \:\varphi_M^n\: - \: \varphi_N^n \: , e_k \right>
            e_k \right)\right|^2 \mu (d\varphi) \\
            &= \int_{\h} \left| \sum_{k\in \Z^2} \left< \: \varphi_M^n \: -
            \: \varphi_N^n \:, e_k \right> \frac{e_k}{(1 +
            |k|^2)^\varepsilon}\right|^2 \mu(d\varphi) \\
            &= \sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{(1 + |k|^2)^{2 \varepsilon}}
            \int_{\h} | \left< \: \varphi_M^n \: - \: \varphi_N^n \: , e_k
            \right> |^2 \mu(d\varphi)\\
            &= \sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{(1 + |k|^2)^{2 \varepsilon}}
            \left< (\gamma_M^n - \gamma_N^n) * e_k , e_k \right> \quad
            \text{per il Teorema \ref{3p5}}
        \end{align*}
        che tende a $0$ per quanto visto nel Teorema \ref{3p5} e perch\'e
        $\varepsilon > 1/2$.        
    \end{proof}
\end{prop}

\subsection{Convergenza in $L^2(\h,\mu;H^{-s})$} \label{convhs}
Considerando le potenze come elementi degli spazi $H^{-s}$, piuttosto che
considerarle in $H$, permette di guadagnare un altro genere di convergenza,
seppur strettamente connesso alla convergenza di $C^\varepsilon \:
\varphi_N^n \:$, ovvero la convergenza di $\varphi_N^n$ in
$L^2(\h,\mu;H^{-s})$ per opportuni $s > 0$.\\

Il seguente teorema chiarisce questo aspetto
\begin{thm}
    Siano $M > N$ e $s > 1$, allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} \left| \: \varphi_M^n - \varphi_N^n \right|_{-s} \mu
        (d\varphi) \xrightarrow{M,N \rightarrow \infty} 0.
    \end{equation*}
    Quindi la successione $\: \varphi_N^n \:$ e di Cauchy, quindi
    convergente, in $L^2(\h,\mu; H^{-s})$.
    \begin{proof}
        La dimostrazione segue direttamente dalla Proposizione
        \ref{convC}, infatti
        \begin{align*}
            \left| \: \varphi_M^n \: - \: \varphi_N^n \: \right|_{-s}^2 &=
            \sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{(1 + |k|^2)^s} |\left< \: \varphi_M^n
            \: - \: \varphi_N^n \: , e_k \right>|^2 \\
            &= \left| \sum_{k \in \Z^2} \frac{e_k}{(1 + |k|^2)^{s/2}} \left<
            \: \varphi_M^n \: - \: \varphi_N^n \: , e_k \right> \right|^2 \\
            &=  |C^{s/2} ( \: \varphi_M^n \: - \: \varphi_N^n \:) |^2
            \mu(d\varphi)
        \end{align*}
        e quindi
        \begin{equation*}
            \int_{\h} \left| \: \varphi_M^n - \varphi_N^n \right|_{-s} \mu
            (d\varphi) = \int_{h} |C^{s/2} ( \: \varphi_M^n \: - \:
            \varphi_N^n \:) |^2 \mu(d\varphi) 
        \end{equation*}
        che tende a $0$ quando $M,N \rightarrow \infty$.
    \end{proof}
\end{thm}

\subsection{Potenza di un binomio}
Quest'ultima proprietà qua presentata mostra come si comporta la potenza
rinormalizzata di un binomio
\begin{equation*}
    \: ( \varphi + \psi )^n \:,
\end{equation*}
studiando innanzitutto cosa succede con $\varphi, \psi$ troncati. Si ha la
\begin{prop}
    Siano $\varphi, \psi \in \h$, $n, N \in \N$ e $\xi \in \o$. Allora
    \begin{equation*}
        \: \left( \varphi_N (\xi) + \psi_N (\xi) \right)^n\: =
        \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \: \left( 2 \varphi_N
        (\xi)\right)^j \: \: \left( 2 \psi_N(\xi) \right)^{n - j} \:.
    \end{equation*}
    \begin{proof}
        Grazie alla Proposizione \ref{binom}, si ha
        \begin{align*}
            \: \left( \varphi_N (\xi) + \psi_N (\xi) \right)^n \: &=
            \rho_N^n H_n \left( W_{\eta_N(\xi)}(\varphi + \psi) \right) \\
            &= \rho_N^n H_n \left( W_{\eta_N(\xi)} (\varphi) + W_{\eta_N
            (\xi)}(\psi) \right) \\
            &= \frac{\rho_N^n}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} H_j \left(
            2 W_{\eta_N(\xi)} (\varphi) \right) H_{n-j} \left( 2
            W_{\eta_N (\xi)} (\psi \right) \\
            &= \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \rho_N^j
            H_j \left( W_{\eta_N (\xi)} (2\varphi) \right) \,
            \rho_N^{n-j} H_{n-j} \left( W_{\eta_N (\xi)} (2\psi) \right) \\
            &= \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \: \left( 2 \varphi_N
            (\xi)\right)^j \: \: \left( 2 \psi_N(\xi) \right)^{n - j} \:.
        \end{align*}
    \end{proof}    
\end{prop}

Sia $\mathcal{P}_N^n$ l'$n$-esima potenza degli elementi troncati a valori in $H^{-s}$ con
$s>1$, ovvero
\begin{align*}
    \mathcal{P}_N^n : \h &\longrightarrow H^{-s} \\
    \varphi &\mapsto \: \varphi_N^n \:
\end{align*}
Sia ora $n \in \N$ fissato, si è dimostrato in \ref{convhs} che
$(\mathcal{P}_N^n)_{N \in \N}$ converge in $L^2(\h,\mu; H^{-s})$ per $N
\rightarrow \infty$. Ciò significa che esiste una sottosuccessione
$\mathcal{P}_{N'}^n$ che converge quasi certamente. Si considerino ora le
sottosuccessioni di potenze minori di $n$
\begin{equation*}
    \mathcal{P}_{N'}^k, \text{ con } k < n,
\end{equation*}
anch'esse convergono in $L^2(\h,\mu; h^{-s})$ ed esiste, quindi, una
sotto-sottosuccessione $N''$ tale che
\begin{equation*}
    \mathcal{P}_{N''}^k \text{ converge }\mu-\text{q.c. in } \h, \quad \forall k \leq
    n
\end{equation*}
e sia $S \subset \h$ l'insieme su cui non c'è tale convergenza puntuale,
ovvero
\begin{equation*}
    \h \setminus S = \left\{ \varphi \in \h : \mathcal{P}_{N''}^k (\varphi)
    \text{ converge in } \h, \quad \forall k \leq n \right\}.
\end{equation*}
Si dimostra che l'insieme
\begin{equation*}
    T = \left\{ (\varphi,\psi) \in \h \times \h : \varphi + \psi \in S
    \right\}
\end{equation*}
ha misura $\mu \otimes \mu$ nulla. Infatti si tratta di verificare che
\begin{equation} \label{misT}
    \int_T d(\mu \otimes \mu) = \int_{\h} \left( \int_{-\varphi + S} d\mu
    \right) \mu(d\varphi) = \int_{\h} \left( \int_S d\nu_{\varphi} \right)
    \mu(d\varphi) = 0,
\end{equation}
dove
\begin{equation*}
    \nu_{\varphi} = \bigotimes_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \mathcal{N}(\varphi_k,
    \frac{1}{1 + |k|^2})
\end{equation*}
è la traslazione della misura $\mu$ da $0$ in $\varphi$. Ispirandosi al
teorema di Cameron-Martin \cite{mis_nulla}, si può dimostrare che la misura
$\nu_{\varphi}$ è assolutamente continua rispetto alla misura $\mu$ se
\begin{equation*}
    \sum_{k \in \Z^2} \frac{|\varphi_k|^2}{1 + |k|^2} < +\infty,
\end{equation*}
ovvero se $\varphi \in H^{-1}$ e questo accade $\mu$-q.c., come mostrato
nella Proposizione \ref{misH-s}. Quindi
\begin{equation*}
    \nu_{\varphi} (S) = 0, \quad \mu\text{-q.c.}
\end{equation*}
che dimostra (\ref{misT}).

Quindi, $\varphi + \psi \in \h \setminus S$ $(\mu \otimes \mu)$-q.c. e si è
cos\`i dimostrato il
\begin{thm}
    Sia $n \in \N$ e siano, $\varphi, \psi \in \h$, allora
    \begin{equation*}
        \: \left( \varphi + \psi \right)^n :\ = \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n
        \binom{n}{j} \: \left( 2 \varphi \right)^j \: \: \left( 2 \psi
        \right)^{n - j} \: \quad \mu\otimes\mu-\text{q.c.}
    \end{equation*}
\end{thm}

\nocite{*}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{biblio}
\end{document}                                                      
